Aproximación filosófica a la demostración por AndrewWiles de la última hipótesis de Fermat

La demostración de Wiles de la hipótesis de Fermat es un trabajo intelectual

que va más allá de la capacidad propia de comprensión de un no-científico.

Baste para darse cuenta concreta de ello acceder al documento de dicha

demostración —de 108 páginas de extensión—titulado: Modular elliptic

curves and Fermat’s Last Theorem, publicado en Annals of Mathematics,

141 (1995) (http://scienzamedia.uniroma2.it/~eal/Wiles-Fermat.pdf)

Recordemos en primer lugar que “una hipótesis es una proposición

emitida “a priori” sobre la exactitud o inexactitud de un enunciado cuya

demostración se ignora” (Vide: “Conjetura”, en el Diccionario Akal de

Matemáticas).

Respecto al texto de Wiles, hay que hacer notar, que a partir del

Capítulo I de dicho texto demostrativo (de los cinco que constituyen el

mismo, además de la Introducción), hay una gran dificultad para los lectores

en entender lo que es expresado por el autor inglés en su texto. En efecto,

éste habla de determinadas proposiciones, teoremas, lemas, corolarios…

sólo aptos en su comprensión para un muy reducido grupo de matemáticos,

los cuales —según aclara Simon Singh— son los mejores del mundo.

Sin embargo, nos queda por considerar —bien que sea parcialmente—

la Introducción de dicho texto (previa a los cinco capítulos de la demostración

publicada en la web citada), lo que haremos en nuestro intento de

aproximación a la Demostración. Porque, cabe preguntarse, ante todo:

1. ¿Es inaccesible a la libre reflexión y comentario lo prácticamente

incomprensible?

2. ¿Qué podemos entender (en su caso) de la demostración de Wiles

los no-científicos?

3. ¿Y qué podemos, asimismo, comentar en relación a dicha

demostración? ¿Cómo puede influir la misma en nuestro pensamiento?

A través de la lectura del magnífico libro de Simon Singh (El enigma

de Fermat) he intentado hacerme una idea del impresionante mundo

intelectual descrito por Wiles. Aquí trataremos únicamente de hacer una

breve aproximación a dicho mundo, desde un punto de vista que quizá

podríamos llamar “seguimiento en el tiempo de la redacción de la

demostración”.

Recordemos, en primer lugar, la hipótesis de Fermat. Dice la misma:

“La ecuación xn + yn = zn, donde x, y, z pertenecen a N, no tiene soluciones

enteras positivas distintas de x=y=z=0, si n >2”. O, expresada según el

Diccionario Akal antes citado, en su entrada: “Conjetura de Fermat”: “Para

≥ que 3, no existen enteros x, y z no nulos tales que “xn + yn = zn”.

Se trata, como dice Albretch Beutelspacher en su libro: Matemáticas:

101 preguntas fundamentales, de una “afirmación negativa”. Según

afirma éste autor, éste es un tipo de proposición que se encuentra entre las

perlas de las matemáticas.

Y en este mismo sentido Charles Daney abunda en su escrito denominado

Las Matemáticas del Último Teorema de Fermat, al decir que la

hipótesis de Fermat es: “un enunciado acerca de la no existencia de algo”.

(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/ContribucionesV4n3.

Fermat/index.html.)

Anotemos aquí, por otra parte, que para n = 2, nos encontramos ante el

teorema de Pitágoras, tan ampliamente conocido. Cabe decir que la

conjetura de Fermat fue demostrada con anterioridad al trabajo de Wiles por

los matemáticos y en los casos siguientes, los cuales sin embargo lo hicieron

exclusivamente en referencia a los exponentes que se indica:

Euler para n =3

El propio Fermat para n =4

Legendre, y también

Lejeune Dirichlet para n = 5

Lamé para n = 7, y

Lejeune Dirichlet para n = 14

Kummer demostró que: “La conjetura de Fermat era verdadera para

todo exponente “p” entero primo regular”, como consta de nuevo en el

Diccionario Akal indicado.

Asimismo —y entramos aquí en la parte sustancial del trabajo

demostrativo de Wiles— en 1956 los matemáticos japoneses Taniyama y

Shimura afirmaron (sin demostrarlo) que: “Todas las ecuaciones elípticas

son formas modulares”. O —según se anota en la página 209 del libro de

Simon Singh citado—: “toda ecuación elíptica debe estar asociada a una

forma modular”. O, aún: “A cada curva elíptica le corresponde una forma

modular, y viceversa”.

Esta afirmación sorprendió al mundo matemático, puesto que no se

conocía entonces una relación entre las ecuaciones elípticas y las formas

modulares. Una ecuación elíptica es una ecuación, que puede escribirse en

la forma: y2 = Ax3 + Bx2 + Cx + D (Vide “Funciones Elípticas, Esteban di

Tada”) 1. (http://www.palermo.edu/) Y una forma modular es: “una función

analítica compleja en el semi-plano superior que satisface un cierto tipo de

ecuación funcional y condición de crecimiento”.

En todo caso, la demostración de Wiles de la Hipótesis de Fermat —

tal como afirma Christopher Clapham en el Diccionario de Matemáticas

Oxford-Complutense— es “terriblemente complicada”.

De forma fundamental para el tema que estamos abordando, en 1986

Gerhard Frey descubrió que la demostración de la hipótesis de Taniyama-

Shimura debería implicar “inmediatamente” o “directamente” la demostración

de la hipótesis de Fermat. Y dicha implicación la comprobó en dicho

año de 1986 Ken Ribet, tras la ayuda puntual de Barry Mazur (en concreto,

según recuerda Singh, “añadiendo alguna estructura gamma-cero de (M)”

al razonamiento del propio Ribet)(Vide: El lenguaje de las matemáticas,

Keith Devlin, Manontropo, 2002, pp. 298-300). Asimismo, Capi Corrales

Rodríguez afirma en las Matemáticas del siglo XX: que: “A mediados de los

ochenta, Frey predijo y Ribet demostró que cualquier solución entera a la

ecuación de Fermat para n > 5 daría lugar a una curva de tipo E sin la

propiedad P. En 1986 (como se ha dicho en el párrafo anterior), Ribet

demostró la afirmación de Frey, abriendo con ello una nueva vía para

demostrar el Teorema de Fermat: demostrar la conjetura de Taniyama-

Shimura”.

En matemáticas, el teorema de Ribet (antes llamado conjetura épsilon

o conjetura de Serre) es un enunciado en teoría de números relativo a las

propiedades de las representaciones de Galois asociadas a las formas

modulares. (http://es-la.dbpedia.org/ page/resource/Teorema_de_Ribet).

Si nos dirigimos ahora al escrito de Wiles referido, en su página 444

cita el matemático residente entonces en Princeton, entre otros, los siguientes

conceptos matemáticos y algebraicos: las representaciones de Galois, los

grupos de Selmer, el sistema de Euler, la teoría de Iwasawa, los anillos de

Hecke… Todos estos conceptos y teorías matemáticos forman parte del

núcleo más importante del trabajo de Wiles. Y decimos esto sin entrar en

mayores consideraciones, que es lo adecuado a la complejidad del caso y a

nuestro propio conocimiento del tema. Hay que insistir que nos movemos

aquí en el ámbito de la mera contemplación (por recopilación previa) de

teoremas, teorías, hechos y citas. Es decir, se trata de simples observaciones

a partir de diversos textos, además del principal (la propia demostración de

la conjetura de Fermat) de Andrew Wiles.

También es de importancia primordial en la demostración por Wiles

de Fermat lo que sigue: la teoría de Iwasawa, la teoría de Kolyvagin y el

método de Flach, entre otros. Precisamente, fue la aplicación simultánea (y

no de forma independiente como había hecho nuestro autor hasta entonces)

del método de Kolyvagin-Flach y la teoría de Iwasawa, lo que permitió la

demostración definitiva de la hipótesis de Fermat por Wiles. Y ello tras el

descubrimiento por Katz de un error (que parecía insalvable, aunque luego

se superó) en el Capítulo 3 (Estimates for the Selmer group) del escrito

demostrativo de Wiles presentado en 1993.

El error encontrado, relacionado con la aplicación del método

Kolyvagin-Flach era –en palabras que Singh atribuye a Katz–: “tan

abstracto que no podría explicarse en términos sencillos”. Es decir (ahora

cito al propio Singh): “en esencia, el problema era que no existía garantía

de que el método de Kolyvagin-Flach funcionase como Wiles pretendía”.

Asimismo, en un correo electrónico enviado por Richard Pinch en

noviembre de 1993, se lee textualmente: “Coates dijo en una conferencia…

que en su opinión había una laguna en la parte de la demostración de los

“sistemas geométricos de Euler” (Vide: El enigma de Fermat, Simon Singh,

página 253). Más adelante, en el mismo libro (página 255), y en

palabras del propio Wiles se puede leer que: “… sin embargo, el cálculo de

una cota superior precisa para el grupo de Selmer en el caso semiestable

(de la representación cuadrada simétrica asociada a la forma modular) no

está completa en su forma actual”.

Pero al final, Wiles encontró la manera de hacer que el método de

Kolyvagin-Flach permitiera que “mi enfoque original del problema

funcionara” como dijo el propio Wiles. Es decir —nos dice ahora Simon

Singh en su libro indicado—: “la teoría de Iwasawa por sí sola era

inadecuada. El método de Kolyvagin-Flach por sí solo era inadecuado.

Juntos se complementaban perfectamente”.

Otra opinión en este mismo sentido (la manera de cómo se logró la

solución definitiva del problema en la demostración de Wiles) es la que

indica Gina Kolata, periodista científica del New York Times, la cual

afirma, al final de su artículo sobre la demostración de Fermat por Wiles

que: “el avance decisivo consistió en imaginar cómo unir entre sí un

conjunto infinito de objetos matemáticos llamados anillos de Hecke”.

El propio Andrew Wiles dice: “I came suddenly to a marvelous

revelation: I saw a flash on September 19th 1994 that de Shalit's theory, if

generalized, could be used together to glue the Hecke rings at suitable

auxiliary levels into a power series ring (p. 453)”.

El párrafo anterior es un punto esencial de la demostración de Wiles,

sin duda. En él se citan específicamente dos temas: “la teoría de De Shalit”

y los “anillos de Hecke”.

En el libro de Ehud de Shalit, titulado: Hecke rings and Universal

Deformation Rings se dice textualmente: “Wiles proof of the Shimura-

Taniyama-Weil conjecture for semi-stable elliptic curves is based on the

"modularity" of certain universal deformation rings.”

La web correspondiente al texto referido de De Shalit es: https.://link/springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-1974-3_14.

Jorge Alberto Guccione y Juan José Guccione, en su escrito: Algebra.

Grupos, Anillos y Módulos, dicen: Un anillo A “es un conjunto provisto de

dos operaciones binarias, llamadas suma o adición y producto o

multiplicación, tales que: 1. A es un grupo abeliano vía la suma, 2. A es un

monoide vía el producto, y 3. El producto es distributivo a izquierda y a

derecha con respecto a la suma” (http:///www.dm.uba.ar/materias/ algebra_

2/2011/1/guccione.pdf).

Nota Un “monoide”: “es una estructura algebraica con una operación

binaria, que es asociativa, y un elemento neutro. Los monoides son

estudiados en la teoría de grupos”.

Vayamos en este momento a lo que se incluye en el Bulletin (New

Series) of the American Mathematical Society, Volume 32, Number 4,

October 1995, “Galois Representations And Modular Forms”, página 397,

de cuyo texto es autor Kenneth A. Ribet: “En el momento de sus

conferencias de 1993 en Cambridge, Wiles creía que había demostrado la

desigualdad numérica mediante la construcción de un "sistema geométrico

de Euler", generalizando así el trabajo de M. Flach [20]. El análisis

posterior demostró que la construcción prevista por Wiles era defectuosa.

Curiosamente, aún no está claro si se puede modificar para producir un

sistema de Euler con las propiedades deseadas. Como mínimo, uno siente

que ésta vía de investigación es probable que permanezca extremadamente

activa”.

Debo reconocer que me es muy difícil ordenar sistemáticamente el

texto de este escrito, cuyas fuentes son enormemente complejas y están

además diseminadas. Espero que el posible lector tenga la amabilidad de

aceptar, y también de disculpar, tal hecho. E intentando avanzar en mi

trabajo, incluyo aquí algunas de las precisiones (las he dividido en dos

apartados, y no son una transcripción literal), de Felipe Zaldívar en su

espléndido estudio titulado: La conjetura de Fermat (Miscelánea Matemática

34 (2001) 25–42).

1. Sobre formas modulares

Las funciones modulares quizá sean las que tienen más simetrías

dentro de las funciones complejas…

2. La curva de Frey y la conjetura de Fermat

Gerhard Frey, alrededor de 1985, expuso determinadas consideraciones

en relación a la conjetura de Taniyama-Shimura. Conocidas

éstas, Jean-Pierre Serre pudo precisar lo que necesitaba para probar que

la existencia de la curva de Frey violaba la conjetura de Taniyama

Shimura.

Y más adelante se concreta: “Así, en 1990 ya se sabía que la

conjetura de Taniyama-Shimura implicaba la conjetura de Fermat. Al

conocer lo anterior, Andrew Wiles comienza un proyecto con el objetivo de

probar la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil al menos en el caso cuando

la curva E es semi-estable”.

Es decir, Wiles se fijó un objetivo (la demostración de la hipótesis de

Fermat) y lo consiguió.

Fue una proeza intelectual, dada la dificultad de la demostración, que

en tantos años y pese a innumerables esfuerzos de los mejores matemáticos

no había podido ser efectuada hasta entonces de forma general.

¿Se puede intentar acceder —aún sea parcialmente— a lo casi incomprensible,

tal como indicábamos al principio? Yo creo que sí, entre cosas

por seguir la frase de Publio Terencio Africano en su comedia Heautontimorumenos

(El enemigo de sí mismo), que como recordaremos dice:

“Soy humano, y nada humano me es ajeno”. Porque al cabo la exposición

científica de Wiles, es, pese a su enorme dificultad, “un hecho humano”. Y

quizá precisamente por esa condición de humanidad la demostración de

Wiles nos admira, nos atrae y nos permite nuestro intento de comprensión,

por mínima que ésta sea.

La demostración (en general) es un proceso intelectual formado por un

conjunto de pasos lógicos. Estamos ante una afirmación, conjetura, hipótesis

o posibilidad… que se trata de convertir en certeza. Ello significa, en efecto,

ampliar el campo del conocimiento científico.

A menudo —y hablando en general— hay que aceptar las cosas tal y

como son, por extrañas que parezcan. Ocurren. Están ahí, y además —algunas

de ellas— lo están para ser consideradas por la filosofía en cuanto

pueden afectar directamente al intelecto del ser humano.

Las conclusiones (dispersas y no categóricas, como era de esperar en

nuestro caso) a las que he llegado son las siguientes:

Afrontar un tema científico es una tarea que para un no-científico

acostumbra a ser de gran dificultad. Y ello tanto por el fondo como por la

forma del tema estudiado (una teoría, un teorema…). Se trata de una lucha

intelectual, sin duda, en el intento de probar la capacidad de razonar del

hombre. Pero en la medida de nuestras posibilidades, no debemos renunciar

a ese reto.

Por otra parte, sabemos que Wiles cambió de enfoque demostrativo en

la mitad de su trabajo. Optó por un nuevo camino, y ello en virtud del azar

(puesto que oyó hablar de la demostración de Ribet casualmente en una

reunión). Así que no se rigió el autor inglés siempre por las mismas “bases”

teóricas y de procedimiento. Y esto nos lleva a pensar: ¿Cuál es la estructura

de las demostraciones matemáticas? ¿Y en qué medida están las mismas

sometidas al azar?

Y asimismo, sin la intervención —entre otros— de Nick Katz y

Richard Taylor, ¿cuál hubiera sido el resultado del trabajo de investigación

de Wiles?

Y es que una vez más hay que considerar las acciones de los hombres,

por lógicas e inteligentes que éstas sean, ocurren dentro del ámbito del azar.

Lo que no significa, ciertamente, que la demostración de Fermat quizá se hubiera

podido llevar a cabo por el propio Wiles en otras circunstancias o

por otros genios matemáticos.

Posteriormente, en el año 1999, se realizó la demostración de la conjetura

completa de Fermat (no sólo en el caso de las curvas elípticas semiestables).

Inserto a continuación datos al efecto, provenientes del texto de C.

Breuil, B. Conrad, F. Diamond, y R. Taylor, titulado: On the modularity of

elliptic curves over Q: Wild 3-adic exercises, Journal of American Mathematical

Society, 14 (2001), 843-939. (a). “In this paper, building on work of

Wiles [Wi] and of Taylor and Wiles [TW], we will prove the following two

theorems (see §2.2). Theorem A. If E/Q is an elliptic curve, then E is

modular.

Abstract: We complete the proof that every elliptic curve over the

rational numbers is modular”.

Hasta aquí la transcripción literal de parte de texto aparecido en el

Journal indicado antes.

Para acabar, sólo me queda por decir que este breve escrito ha sido

todo cuanto he podido hacer en mi tentativa de aproximación a la formidable

demostración de Andrew Wiles. Asimismo, he tratado de efec-tuar

algunos razonamientos a partir del contenido de la misma. En ningún

momento he pretendido, ciertamente ir más allá en un tema tan complejo.

Bibliografía

“American Mathematical Society”:

http://www.ams.org/home/page

AREÁN ÁLVAREZ, LUIS FERNANDO National

Geographic, El Teorema de Fermat, RBA revistas, 2012.

BEUTELSPACHER, ALBERT, Matemáticas: 101preguntas fundamentales,

Alianza Editorial, 2015, página 30.

BOUVIER, ALAIN Y GEORGE, MICHEL, Diccionario Akal de

Matemáticas, Ediciones Akal, 2008.

Gran Vox, Diccionario de Matemáticas.

KEITH, DEVLIN, El lenguaje de las Matemáticas, Manontropo, 2002, pp.

298-300.

MARTINÓN, ANTONIO, (editor), Las matemáticas del siglo XX, y en las

páginas 465-468 del mismo, El Teorema de Fermat, Capi Corrales

Rodrigáñez.

PICKOVER, CLIFFORD A., El libro de las matemáticas,

Ilus Books, S.L., 2011

SINGH, SIMON, El enigma de Fermat, Ariel, 2015.

TANIYAMA-SHIMURA, Conjetura:

http://mathworld.wolfram.com/search/?

q=Taniyama+Shimura+Conjecture

WILES, ANDREW, Modular elliptic curves and

Fermat’s Last Theorem, by: http//scienzamendia.

uniroma2.it/~eal/Wiles-Fermat.pdf



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